Journées de Géométrie Discrète et Morphologie Mathématique

12 novembre 2019, Marseille

Nouveauté Le programme prévisionnel de la journée est disponible.

Présentation

Après Strasbourg (2010), Clermont-Ferrand (2011), Nantes (2012), Paris (2013), Reims (2014), Lyon (2015), Marseille (2016), Poitiers (2017) et Lyon (2018), la journée du Groupe de Travail de Géométrie Discrète et Morphologie Mathématique des groupements de recherche IM et IGRV est l'occasion pour les enseignants-chercheurs, chercheurs, doctorants de se rencontrer, d'échanger sur les travaux les plus récents, d'initier de nouvelles collaborations sur tous les thèmes de la géométrie discrète et de la morphologie mathématique.

Quand ? La journée du GT aura lieu le . Elle précède les journées JFIGRV 2019.

La géométrie discrète

Le contexte de la géométrie discrète s’intègre dans le cadre général de la modélisation et l’analyse géométrique et topologique d’objets définis sur des structures régulières (ex. des grilles de pixels ou de voxels) ou combinatoires (graphes, cartes, etc.). Généralement, les axiomes et propriétés de la géométrie euclidienne classique ne sont plus valides lorsque l’on considère des ensembles de pixels. La définition de concepts et notions adaptés à des structures discrètes, mais néanmoins compatibles avec les concepts et notions continus, est alors requise. L’originalité de cette approche réside dans le fait qu’en exploitant les propriétés du support sur lequel sont décris les objets, nous pouvons obtenir des algorithmes efficaces, certifiés et précis pour répondre à des problèmes de caractérisation géométrique ou topologique d’objets discrets (2D, 3D, nD, etc.). Le caractère discret des données à traiter, et donc l’utilité de l’approche discrète, se retrouvent dans de nombreux contextes applicatifs (analyse et traitements d’images, imagerie médicale, ingénierie des matériaux, etc.).

La morphologie mathématique

La morphologie mathématique est une théorie essentiellement non-linéaire, utilisée en particulier en analyse d’images, dont le but est l'étude des objets en fonction de leur forme, de leur taille, des relations avec leur voisinage (en particulier topologiques), de leur texture, et de leurs niveaux de gris ou de leur couleur. Par les transformations qu’elle propose, elle se situe à différents niveaux du traitement d’images (filtrage, segmentation, mesures, analyse de texture) et fournit ainsi des outils pour la reconnaissance des formes. La morphologie mathématique, développée à l’origine pour l'étude des matériaux poreux, trouve maintenant ses applications dans de nombreux domaines du traitement d’images, aussi bien 2D que 3D, en biologie et cytologie quantitative, en imagerie médicale, en imagerie aérienne et satellitaire, en robotique et vision par ordinateur, en contrôle industriel non destructif, dans les études sur les documents et les œuvres d’art. Hors du domaine du traitement des images, on trouve des applications par exemple en analyse de données, ou encore en théorie des jeux.

Orateur invité : Guilherme Dias da Fonseca

Titre Recherche approximative dans un polytope avec des applications

Résumé Dans le problème d'appartenance à un polytope, on a un polytope convexe \(P \subset R^d\) pour une constante \(d \geq 2\), et l'objectif est de représenter \(P\) par une structure de données de façon que, si on reçoit un point de requête \(q \in R^d\), on peut rapidement déterminer si \(q \in P\). On considère ce problème dans un contexte d'approximation. Étant donné un paramètre \(\epsilon > 0\), la requête doit renvoyer une réponse positive si \(q \in P\), une réponse négative si la distance de \(q\) à \(P\) est supérieure à \(\epsilon \cdot diam(P)\), et sinon on peut avoir n'importe quelle réponse, où \(diam(P)\) est le diamètre de \(P\).

On a présenté les premières structures de données développées spécialement pour l'approximation de l'appartenance à un polytope. Initialement, on a montré comment répondre aux requêtes en temps \(O(1/\epsilon^{(d-1)/4})\) avec un stockage optimal de \(O(1/\epsilon^{(d-1)/2})\). Ensuite, on a raffiné l'analyse de la même structure de données pour obtenir temps de requête \(O(\log(1/\epsilon)/\epsilon^{(d-1)/8})\) avec le même stockage optimal. Finalement, on a étudié une approche différente pour obtenir une structure de données optimale avec temps de requête \(O(\log(1/\epsilon))\) et stockage \(O(1/\epsilon^{(d-1)/2})\). Nos structures de données apportent d'énormes améliorations pour plusieurs problèmes classiques d'approximation géométrique : plus proche voisin, diamètre, \(\epsilon\)-noyau, parmi d'autres.

Alors que notre solution initiale était basée sur de techniques bien connues comme les grilles et quadtrees, notre structure de données la plus efficace présente la première application algorithmique des régions de Macbeath, une structure classique de la géométrie convexe. La structure de donnés utilise une hiérarchie d'ellipsoïdes de John des régions de Macbeath, où chaque niveau de la hiérarchie fournit un certain degré d'approximation du bord du polytope.

Modalités de soumission et inscription

Outre cette présentation invitée, plusieurs créneaux sont réservés à des présentations de travaux récents. Nous invitons donc les membres de la communauté, et en particulier les jeunes chercheurs, à faire une proposition de contribution sur un sujet relevant des thèmes du Groupe de Travail.

Les propositions de contribution devront indiquer les noms, prénoms et affiliations du/des contributeur(s), ainsi que le statut du contributeur principal (doctorant, post-doctorant, chercheur permanent). Un titre et un résumé devront être fournis. La date limite de soumission des propositions de contribution est fixée au .

Les informations suivantes sont requises (par courrier électronique à l'adresse gdmm2019@lis-lab.fr). Les participants qui ne proposent pas d’exposés doivent aussi envoyer un courrier électronique, car le repas du midi sera pris en charge par le Groupe de Travail.

Prénoms, noms des auteurs : 
Courriels et affiliations (université, laboratoire) : 
Titre de la soumission : 
Résumé de la soumission :

Programme

Heure Description
09h00Accueil
09h30Guilherme Dias da Fonseca
10h45Pause café
11h15Exposé #1
11h40Exposé #2
12h05Exposé #3
12h30Repas
14h30Exposé #4
14h55Exposé #5
15h20Exposé #6
15h45Pause
16h15Exposé #7
16h40Exposé #8
17h05Discussion sur le GT
17h30Fin
TBA

Plan

La journée du GT GéoDis aura lieu à l’École d’Ingénieurs Polytech (bâtiment A) sur le campus de Luminy, juste à côté du CIRM, au sud de Marseille.

Les coordonnées GPS de la porte d’accès au bâtiment A sont : 43.232842, 5.443403

Hébergement

Voici un liste d'hôtels allant du Vieux Port au campus de Luminy.

Des chambres pour chercheurs sont également disponibles sur le campus de Luminy (environ 40 euros par nuit). Contactez nathalie.prano@crous-aix-marseille.fr pour plus d’informations.

Contact

Pour toute question, contacter l’équipe organisatrice (Jean-Luc Mari, Aldo Gonzalez-Lorenzo et Ricardo Uribe Lobello) : gdmm2019@lis-lab.fr